Ich gebe zu, ich hab es vergessen und bin zuerst nach Hause gefahren. Das hier ist aber aktuell: 12.75V, Auto vor etwa 5min abgestellt.
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Lass dich nicht von der Temperatur beirren. Du weißt wo die Batterie verbaut ist. Da sitzt auch der Sensor und zum Kühler ist es nicht weit. 
Aktuelle Außentemperatur 5 Grad.
Da weiteres zur Überwachung hier aber OT ist, bitte bei weiterem Interesse hier (klick) weitermachen.
Liefere ich später nach, wenn ich am Auto bin. Irgendwas um die 12V...
Die 13V könnten auch an der internen Batterie deines Digital-Multimeters liegen. Das vergleicht nämlich die Spannungen,wenn ich mich nicht irre.
Was ist das für ne Qualität???
Sowas gab es vor der Schwemme von BWL-Absolventen nicht. Mein 1977er Golf hatte damals Scheinwerfer für unter 100DM (50€) verbaut und problemlos die illegalen H4 55W/100W - Birnchen vertragen. Und die wurden wirklich heiß. 
Zu 1: ja. Die Lebensdauer eines Akkus soll erheblich vom ersten Ladevorgang abhängen. Das kann ich aber nicht belegen, sondern kenne diese Vorgehensweise nur von Kleinelektrogeräteinbetriebnahmeanleitungen.
Schaden wird es nicht.
Zu 2: bisher kenne ich niemanden. Meine tut es seit einem Jahr stabil. Ist aber auch zu erwarten.
Dein Preis war ein Schnäppchen. 
Scheinwerfer werden beim Smart auf 1% nach unten eingestellt.
Hier gibt es eine Anleitung (Klick)
Elektrische Widerstände können temperaturabhängig sein oder besser sind es. Beim Start mit Booster wird die Stelle mit dem erhöhten Widerstand warm. Das kann vielleicht für den nächsten Startversuch reichen.
Lade die Batterie über Nacht auf und prüfe die verschrauben Kabelverbindungen auf Korrosion und festen Sitz (Massepunkt motorseitig, Karosseriemassepunkt nach der Batterie und die Polklemmen,sowie die Verschraubung am Hauptstromkabel Anlasser.) Hast du ein Multimeter zur Hand kannst du es mit einer Spannungsabfallmessung leichter eingrenzen. Manchmal hilft zumindest befristet das Lösen der Verschraubung und ein leichtes Bewegen der Kabel. Langfristig müsste man den Gammel aber entfernen. Oder du besuchst die Werkstatt deines Vertrauens. Ferndiagnosen sind einfach nicht möglich. 
Es gibt zu viele Fehlerquellen. 
Hatten wir nicht letztens erst ein ähnliches Problem bei dem das Hauptstromkabel am Anlasser vergammelt war?
Sind die Batterie Pole sauber und fest? Vermutlich hast du irgendwo einen Spannungsabfall, der in Verbindung mit einer schwachen Batterie das Problem verursacht. Dein Booster bringt mehr Strom und der "schlechte" Kontakt wird "übersprungen". Ist aber nur eine Vermutung...
Dann würde ich das der Werkstatt zeigen. Da ist das Kabel definitiv beschädigt und gehört fachgerecht instandgesetzt. Sonst droht früher oder später möglicherweise ein Folgeschäden durch Feuchtigkeit und Korrosion, weil die Isolierung oder der Draht (oder Beides) gebrochen ist.
